繼物理學(xué)地圖之后,今天要給大家?guī)淼氖且粡埻ㄍ鶖?shù)學(xué)世界的地圖,概括了所有的數(shù)學(xué)分支。
故事還得從頭開始。一切都始于計(jì)數(shù)。
事實(shí)上,計(jì)數(shù)不僅僅只是人類的特性,其它的動物(比如鳥、猴子等)也有計(jì)數(shù)的能力。人類在木頭、骨頭或石頭上的計(jì)數(shù)符號從史前時(shí)代就開始被使用了。在石器時(shí)代的文化中,他們會使用計(jì)數(shù)符號進(jìn)行賭博、私人服務(wù)和交易。
一切起源于計(jì)數(shù)。
最近的幾千年里,在不同的國度,數(shù)學(xué)都得到了發(fā)展。古埃及人寫下了第一個(gè)方程。古希臘人則在許多方面都有貢獻(xiàn),比如幾何和數(shù)秘術(shù)。中國數(shù)學(xué)家早就有了負(fù)數(shù)的概念?!?”這個(gè)數(shù)字則在印度首次被使用。接著在波斯伊斯蘭教的黃金時(shí)期,數(shù)學(xué)家又跨越了一大步,書寫了第一部代數(shù)學(xué)的書籍。在文藝復(fù)興時(shí)期,數(shù)學(xué)與科學(xué)則共同欣榮發(fā)展。
當(dāng)然,以上提到的僅僅是數(shù)學(xué)歷史中的冰山一角,我不打算在這里提及更多。我的主要目標(biāo)是要帶你們進(jìn)入現(xiàn)代數(shù)學(xué)的分支。
現(xiàn)代數(shù)學(xué)可以大致被分為兩個(gè)領(lǐng)域:純粹數(shù)學(xué)(研究數(shù)學(xué)本身)和應(yīng)用數(shù)學(xué)(用以解決更實(shí)際的問題)。但我們要記住的是,它們之間其實(shí)有著緊密的關(guān)聯(lián)。如果能的話,這張地圖更應(yīng)該是一張網(wǎng)絡(luò),連接著每個(gè)相關(guān)的分支。但我們現(xiàn)在只能盡量把它呈現(xiàn)在二維的平面上。
左邊為純粹數(shù)學(xué),右邊為應(yīng)用數(shù)學(xué)。
事實(shí)上,從歷史中我們會發(fā)現(xiàn),有許多數(shù)學(xué)家一開始只是出于好奇以及對美的追求去研究數(shù)學(xué),然后發(fā)展了一系列美麗而又有趣的數(shù)學(xué)分支,但對于真實(shí)世界卻一點(diǎn)用處都沒有。令人驚喜的是,比如在100年后,當(dāng)有些科學(xué)家正在試圖解決物理學(xué)或計(jì)算機(jī)科學(xué)最前沿的問題時(shí)發(fā)現(xiàn),他們所需要的數(shù)學(xué)其實(shí)早就在純粹數(shù)學(xué)里被發(fā)展出來了。這樣的例子不勝枚舉,比如廣義相對論的發(fā)展依賴于黎曼度規(guī);弦理論則需要卡-丘空間等等。這些抽象的概念最終被應(yīng)用在其它的科學(xué)領(lǐng)域中是非常令人欣喜的一件事。
先拋開純粹數(shù)學(xué)是否有一天能被應(yīng)用在現(xiàn)實(shí)中去,其實(shí)研究純粹數(shù)學(xué)本身也是非常有價(jià)值的事。如果你問一位數(shù)學(xué)家為什么要研究純粹數(shù)學(xué),我想很多人的答案會簡潔到只有一個(gè)字,那就是:美!
現(xiàn)在我們首先進(jìn)入純粹數(shù)學(xué)的領(lǐng)域。
純粹數(shù)學(xué)
純粹數(shù)學(xué)主要包括四個(gè)部分:
純粹數(shù)學(xué)包括數(shù)字系統(tǒng)、結(jié)構(gòu)、空間和變化。
【數(shù)字系統(tǒng)】
數(shù)字系統(tǒng)的研究起源于數(shù),一開始為熟悉的自然數(shù)(1、2、3...)及整數(shù)(…-2、-1、0、1、2...)與被描述在算術(shù)內(nèi)的自然數(shù)及整數(shù)的算術(shù)運(yùn)算(+-×÷)。當(dāng)數(shù)系進(jìn)一步發(fā)展時(shí),整數(shù)被視為有理數(shù)(-7、1/2、2.32...)的子集,而有理數(shù)則包含于實(shí)數(shù)(-4π、e、√2...)中。實(shí)數(shù)則可以進(jìn)一步被廣義化為復(fù)數(shù)(4+3i、-4i...)。除此外,還有其它一系列的數(shù)(比如四元數(shù)、八元數(shù)和基數(shù)等)。還有一些數(shù)深受數(shù)學(xué)家的喜愛,比如π、e和質(zhì)數(shù)(1,3,11...)。
剛才提到的這些數(shù)字都有一些有意思的性質(zhì),例如,盡管實(shí)數(shù)和整數(shù)都有無限多,但實(shí)數(shù)要比整數(shù)多。所以有一些無限實(shí)際要比另一些大。
【結(jié)構(gòu)】
對結(jié)構(gòu)的研究起始于將數(shù)字以變量的形式代入方程(y=mx+c)。如何解這些方程的規(guī)則包含在代數(shù)之中。在這個(gè)分支中,還有矢量和矩陣,它們都是多維數(shù),而它們之間的聯(lián)系于線性代數(shù)中被研究。
在這個(gè)分支內(nèi),有一個(gè)被譽(yù)為“最純”的數(shù)學(xué)領(lǐng)域,那就是數(shù)論。數(shù)論專注于研究在“數(shù)字系統(tǒng)”中提到的所有數(shù)的特征,比如質(zhì)數(shù)的性質(zhì)(質(zhì)數(shù)產(chǎn)生了很多非專業(yè)人士也能理解而又懸而未解的問題,如哥德巴赫猜想,孿生質(zhì)數(shù)猜想等)。
另一方面,組合數(shù)學(xué)是一門研究可數(shù)或離散對象的數(shù)學(xué)分支,比如樹、圖論等,一些著名的問題包括地圖著色問題、船夫過河問題等等。群論則是研究名為群的代數(shù)結(jié)構(gòu),一個(gè)熟悉的例子就是魔方,是一個(gè)置換群。序理論是研究捕獲數(shù)學(xué)排序的直覺概念的各種二元關(guān)系的數(shù)學(xué)分支,比如哈斯圖,是用來表示有限偏序集的一種數(shù)學(xué)圖標(biāo)。
【空間】
純粹數(shù)學(xué)的另一個(gè)部分是研究形狀和它們在空間中的行為。空間的研究源自于幾何——尤其是歐幾里得幾何。三角學(xué)則結(jié)合了空間及數(shù),且包含有著名的勾股定理。還有一些比較有趣的領(lǐng)域,比如分形,它是一種具有尺度不變性的數(shù)學(xué)模式,意思是說你無論你怎么放大它們看起來都是一樣的。
在其許多分支中,拓?fù)鋵W(xué)可能是20世紀(jì)數(shù)學(xué)中有著最大進(jìn)展的領(lǐng)域。拓?fù)鋵W(xué)研究的是空間的不同性質(zhì),你可以連續(xù)不斷地將它們變形,但不能將它們撕裂或粘合。例如,無論你對莫比烏斯帶做什么,它永遠(yuǎn)只有一個(gè)面和一個(gè)邊界。在拓?fù)鋵W(xué)里,咖啡杯和甜甜圈是一樣的東西。拓?fù)鋵W(xué)包含了存在已久的龐加萊猜想(2006年由數(shù)學(xué)家格里戈里·佩雷爾曼證明)以及頗有爭議的四色定理(1976年由計(jì)算機(jī)證明)。
測度論是一種給空間或集分配數(shù)值的數(shù)學(xué)分支,它將數(shù)和空間聯(lián)系起來。最后,微分幾何是非常重要的一個(gè)數(shù)學(xué)分支,它研究在彎曲表面上的形狀的性質(zhì),比如三角形在彎曲的表面中內(nèi)角和跟在歐式空間中的不一樣。
【變化】
了解及描述變化在自然科學(xué)里是一個(gè)普遍的議題,而微積分更加使研究變化的有力工具。函數(shù)誕生于此,作為描述一變化的量的核心概念。微積分是研究極限、微分學(xué)(函數(shù)的梯度的行為)、積分學(xué)(函數(shù)下的面積)和無窮級數(shù)的一個(gè)分支。而向量分析關(guān)注的則是向量場的微分和積分。
除此外,還有一系列其它的研究方向。動力系統(tǒng)描述的是系統(tǒng)如何隨著時(shí)間流逝從一個(gè)狀態(tài)演化到另一個(gè)狀態(tài),比如流體流動或任何有反饋環(huán)路的東西(如生態(tài)系統(tǒng))?;煦缋碚搫t是對系統(tǒng)的既不可預(yù)測而又是決定的行為作明確的描述,它對于初始條件非常敏感,比如著名的蝴蝶效應(yīng)。最后是復(fù)分析,對于實(shí)數(shù)及實(shí)變函數(shù)的嚴(yán)格研究為實(shí)分析,而復(fù)分析則為復(fù)數(shù)的等價(jià)領(lǐng)域。數(shù)學(xué)中最大的未解問題之一——黎曼猜想便是以復(fù)分析來描述的。
以上這些便是純粹數(shù)學(xué)的各個(gè)分支。接下來我們進(jìn)入應(yīng)用數(shù)學(xué)的領(lǐng)域。應(yīng)用數(shù)學(xué)的主旨在于將抽象的數(shù)學(xué)工具運(yùn)用在解答科學(xué)、工程、商業(yè)及其他領(lǐng)域上的現(xiàn)實(shí)問題。
應(yīng)用數(shù)學(xué)
數(shù)學(xué)被廣泛地應(yīng)用在各個(gè)科學(xué)領(lǐng)域。
我們從物理學(xué)開始?;旧显诩兇鈹?shù)學(xué)提到的所有分支都多多少少的被應(yīng)用于物理學(xué)上。數(shù)學(xué)和理論物理跟純粹數(shù)學(xué)的關(guān)系是密不可分的。許多數(shù)學(xué)理論是在物理問題的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的;也有很多數(shù)學(xué)方法和工具通常只在物理學(xué)中找到實(shí)際應(yīng)用。例如,微分方程被應(yīng)用在經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué);場論被應(yīng)用在電磁場、引力場和規(guī)范場;群論和表示論別應(yīng)用在粒子物理學(xué)中。
除了物理外,數(shù)學(xué)也被應(yīng)用在其它的自然科學(xué)上,特別是在數(shù)學(xué)化學(xué)和生物數(shù)學(xué)上。在數(shù)學(xué)化學(xué)中,數(shù)學(xué)模型通常被用以模擬分子;拓?fù)浠瘜W(xué)也是一個(gè)熱門的研究領(lǐng)域(2016年的諾貝爾化學(xué)獎就跟拓?fù)溆嘘P(guān))。數(shù)學(xué)也大量應(yīng)用在生物學(xué)中,如由于基因?qū)W的發(fā)展,生物學(xué)家采集到的大量數(shù)據(jù)必須通過解析方法加以處理;演化生物學(xué)和生態(tài)學(xué)都大量使用數(shù)學(xué)理論等等。
數(shù)學(xué)也被大量應(yīng)用在工程學(xué)上,自古埃及和巴比倫時(shí)期,數(shù)學(xué)就被大量應(yīng)用在建筑上。非常復(fù)雜的電路系統(tǒng),比如在飛機(jī)或電網(wǎng)中,就利用了動力系統(tǒng)的方法,叫控制理論。
(這里推薦一本Mary Boas寫的教材《Mathematical Methods in the Physical Sciences》,對于那些本科選擇物理、化學(xué)和工程專業(yè)的學(xué)生,這本書可以快速的幫你們掌握所需要的數(shù)學(xué)知識。)
當(dāng)一些數(shù)學(xué)太過于復(fù)雜我們無法有效地解決時(shí),我們就會用到數(shù)值分析,它也包含了對計(jì)算中舍入誤差或其它來源的誤差之研究。例如,如果你把一個(gè)圓圈放進(jìn)一個(gè)正方形中,并向它扔許多的飛鏢,接著比較飛鏢在圓圈和正方形的數(shù)量,你就可以得到 π 的近似值。但在現(xiàn)實(shí)中,數(shù)值分析通常會使用大型計(jì)算機(jī)來實(shí)現(xiàn)。
博弈論專注于思考游戲中的個(gè)體的預(yù)測行為和實(shí)際行為,并研究它們的優(yōu)化策略。主要研究公式化了的激勵結(jié)構(gòu)(游戲)間的相互作用。其中一個(gè)代表性的應(yīng)用例子是囚徒困境。博弈論在經(jīng)濟(jì)學(xué)、心理學(xué)、生物學(xué)、國際關(guān)系、政治學(xué)等其它學(xué)科都有廣泛的應(yīng)用。
概率論是集中研究概率及隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)分支,最簡單的隨機(jī)事件為扔硬幣、抽撲克或擲骰子。應(yīng)用數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要領(lǐng)域?yàn)榻y(tǒng)計(jì)學(xué),它利用概率論為其工具并允許對含有機(jī)會成分的現(xiàn)象進(jìn)行描述、分析與預(yù)測。大部分的實(shí)驗(yàn)、調(diào)查及觀察研究都依賴于統(tǒng)計(jì)分析。因此被廣泛地應(yīng)用在各門學(xué)科,從自然科學(xué)、社會科學(xué)到人文學(xué)科。特別是在金融行業(yè),通過統(tǒng)計(jì)分析以獲取最大的利益。
跟最大化利益相關(guān)的是最優(yōu)化,你試圖計(jì)算的是在一系列不同選擇或限制下的最佳選擇,也就是找到一個(gè)函數(shù)的最高或最低點(diǎn)。最優(yōu)化問題是人類的第二天性,我們一直在都在進(jìn)行最優(yōu)化選擇,比如試圖最優(yōu)化我們的快樂程度,購買的時(shí)候想要物有所值等等。
另一個(gè)領(lǐng)域跟純數(shù)學(xué)有非常深的聯(lián)系,那就是計(jì)算機(jī)科學(xué)。計(jì)算機(jī)科學(xué)的規(guī)則事實(shí)上是從純數(shù)學(xué)中推導(dǎo)出來的。機(jī)器學(xué)習(xí)是實(shí)現(xiàn)人工智能的一個(gè)途徑,即以機(jī)器學(xué)習(xí)為手段解決人工智能中的問題。機(jī)器學(xué)習(xí)是一門多領(lǐng)域的交叉學(xué)科,利用了數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域,比如線性代數(shù)、最優(yōu)化、動力系統(tǒng)和概率論等等。
最后,密碼術(shù)也是非常重要且實(shí)用的一個(gè)數(shù)學(xué)分支,應(yīng)用到了純粹數(shù)學(xué)研究,比如組合數(shù)學(xué)和數(shù)論等。
現(xiàn)在我們已經(jīng)概括了純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的主要部分。但是,還沒有結(jié)束,我們不能夠忽略數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。
基礎(chǔ)
數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)試圖理解數(shù)學(xué)本身的性質(zhì),并且追問所有數(shù)學(xué)規(guī)則的基礎(chǔ)是什么。是否存在著一套稱為公理的完整的基本規(guī)則?我們要如何證明它是否自洽?數(shù)理邏輯、集合論和范疇論就試圖回答這個(gè)問題。在數(shù)理邏輯中有一個(gè)非常著名的成果叫做哥德爾不完備定理,對大多數(shù)人來說,數(shù)學(xué)并沒有一套完整和自洽的公理,意味著它們都是由我們?nèi)祟悇?chuàng)造的。這聽起來很奇怪,因?yàn)閿?shù)學(xué)如此完美的解釋了宇宙中的許多事物。為什么我們會認(rèn)為由人類創(chuàng)造的東西可以做到如此地步?這是一個(gè)非常深奧的謎題。
我們還有計(jì)算理論,它專注于研究不同的計(jì)算模型,基于這些模型如何能夠有效地解決問題。它包含了復(fù)雜性理論,其中P/NP問題是該領(lǐng)域中至今沒有解決的問題。
現(xiàn)在,我們有了一張通往數(shù)學(xué)世界的完整地圖:
數(shù)學(xué)地圖。(圖片來源:Dominic Walliman)
數(shù)學(xué)是一個(gè)非常抽象和美妙的世界,如果要用一句話形容它的重要性,那么我會選擇伽利略曾經(jīng)說過的:“如果一個(gè)人不懂得宇宙的語言,即數(shù)學(xué)的語言,他就不能夠閱讀宇宙這本偉大的書?!?/p>
你們認(rèn)為學(xué)習(xí)或研究數(shù)學(xué)最大的樂趣是什么?
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