數(shù)學(xué)家斯伊恩·斯圖爾特曾出版過一本十分優(yōu)秀而專業(yè)的書，書名為《探索未知：改變世界面貌的17個(gè)方程式》。該書審視了有史以來最為關(guān)鍵的公式，并從人類發(fā)展而非技術(shù)的角度進(jìn)行了解讀。

斯圖爾特說：“公式無疑很枯燥，而且似乎看起來也很復(fù)雜。但許多人即使不知道如何解公式，也能欣賞公式的簡潔、優(yōu)美和精妙。公式是人類探索與智慧的結(jié)晶，也是文化的重要組成部分，其背后的故事—發(fā)現(xiàn)和發(fā)明公式的人及他們所生活的時(shí)代，都是引人入勝的。”

除了廣為人知的勾股定理、多面體歐拉公式、愛因斯坦的廣義相對論、質(zhì)能方程及麥克斯韋方程組等如雷貫耳的方程式之外，美國商業(yè)內(nèi)幕（Business Insider）網(wǎng)站在報(bào)道中還列出了一些名氣并不很大卻足以改變歷史面貌的公式及其現(xiàn)代應(yīng)用。

對數(shù)及其恒等式

含義：對數(shù)可以化乘為加，也就是說，兩個(gè)數(shù)乘積的對數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)對數(shù)的和。

歷史：這一概念最初由蘇格蘭梅奇斯頓的領(lǐng)主約翰·納皮爾在對大數(shù)進(jìn)行乘法時(shí)發(fā)現(xiàn)。那時(shí)，對大數(shù)做乘法不僅繁瑣無趣，而且耗時(shí)很長，使用這一概念后計(jì)算變得更容易而快捷。后來，亨利·布里格斯對其進(jìn)行了精煉，使之變得更容易計(jì)算和使用。

重要性：對數(shù)是革命性的，它使工程師和天文學(xué)家能更快、更準(zhǔn)確地進(jìn)行計(jì)算。隨著計(jì)算機(jī)的問世，該公式似乎不再那么重要，但對科學(xué)家來說，它仍然不可或缺。

現(xiàn)代應(yīng)用:對數(shù)以及相對的指數(shù)函數(shù)，可用來建模，囊括的范圍從化合物、生物的生長到放射性衰變。

復(fù) 數(shù)

含義：我們把形如a+bi（a、b均為實(shí)數(shù)）這樣的數(shù)稱為復(fù)數(shù)，其中，a為實(shí)部，b為虛部，i為虛數(shù)單位（i2=-1）。復(fù)數(shù)包括實(shí)數(shù)和虛數(shù)，負(fù)數(shù)的平方根為虛數(shù)。當(dāng)b=0時(shí)，復(fù)數(shù)就是實(shí)數(shù)；當(dāng)a=0且b≠0時(shí)，z=bi，我們就將其稱為純虛數(shù)，虛數(shù)拓展了數(shù)字的概念。

歷史：虛數(shù)最初由意大利著名的賭徒兼數(shù)學(xué)家吉羅拉莫·卡爾達(dá)諾提出，后由意大利數(shù)學(xué)家拉法耶爾·蓬貝利和約翰·沃利斯進(jìn)行拓展，最后，愛爾蘭數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家及天文學(xué)家威廉·哈密頓爵士將復(fù)數(shù)定義為a+bi。從數(shù)學(xué)角度而言，虛數(shù)和復(fù)數(shù)簡潔優(yōu)雅。

重要性：如果沒有該公式，包括從電燈到數(shù)碼相機(jī)在內(nèi)的很多現(xiàn)代科技不可能被發(fā)明出來。科學(xué)家們將微積分?jǐn)U展到復(fù)數(shù)，得到了“復(fù)變函數(shù)”，它對理解電學(xué)系統(tǒng)和多種現(xiàn)代數(shù)學(xué)處理算法必不可少。

現(xiàn)代應(yīng)用：廣泛應(yīng)用于電子工程學(xué)和數(shù)學(xué)理論。

正態(tài)分布

含義：正態(tài)分布曲線呈鐘型，兩頭低，中間高，左右對稱，因此，人們又稱之為鐘形曲線。

歷史：早期研究由法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家布萊斯·帕斯卡開始，但最終成型由瑞士科學(xué)家詹姆斯·伯努利完成；而目前使用的鐘形曲線來自比利時(shí)數(shù)學(xué)家阿道夫·凱特勒。

重要性：該公式是現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)。沒有該公式，科學(xué)和社會科學(xué)不會以現(xiàn)在的形式出現(xiàn)。

現(xiàn)代應(yīng)用：在臨床試驗(yàn)中，該公式用于確定藥物是否足夠有效。

傅里葉變換

含義：傅里葉變換是一種線性積分變換，是一種從時(shí)間到頻率的變化或相互轉(zhuǎn)化。

歷史：其基本思想首先由法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家約瑟夫·傅里葉系統(tǒng)地提出，故以其名字命名，該方程從他著名的熱流微分方程和前面描述的波動方程擴(kuò)展而來。

重要性：傅立葉變換是數(shù)字信號處理領(lǐng)域一種很重要的算法。該方程可用于對音樂、演講或圖像等復(fù)雜的波模式進(jìn)行分解、清理和分析，對許多類型的信號分析也至關(guān)重要。

現(xiàn)代應(yīng)用：用于將信息壓縮為JPEG圖像格式、發(fā)現(xiàn)分子的結(jié)構(gòu)等。

熱力學(xué)第二定律

含義：能量和熱量隨時(shí)間的推移而消散。

歷史：法國工程師、熱力學(xué)創(chuàng)始人之一尼古拉·萊昂納爾·薩迪·卡諾首次提出，自然界不存在可逆轉(zhuǎn)的過程；后來奧地利數(shù)學(xué)家路德維?！げ柶澛卣沽嗽摱桑欢茖W(xué)家威廉·湯姆森正式表述了該定律。

重要性：它對于我們通過熵（entropy）的概念來理解能量和宇宙必不可少。熱力學(xué)中的熵，通俗來說是測量系統(tǒng)混亂程度的量。一個(gè)始于一種有序、不均等的狀態(tài)系統(tǒng)，如一個(gè)熱區(qū)域挨著一個(gè)冷區(qū)域，熱會從熱區(qū)域流向冷區(qū)域直到平均分布。

現(xiàn)代應(yīng)用：熱力學(xué)為我們理解化學(xué)奠定了基礎(chǔ)，在制造任何類型的發(fā)電廠或發(fā)動機(jī)方面不可或缺。

薛定諤方程

含義：又稱薛定諤波動方程，描述微觀粒子的狀態(tài)隨時(shí)間變化的規(guī)律。

歷史：1924年，法國著名理論物理學(xué)家、1929年諾貝爾物理學(xué)獎獲得者路易·維克多·德布羅意發(fā)現(xiàn)，每一種微觀粒子都具有波動性與粒子性，這一性質(zhì)被稱為波粒二象性。既然粒子具有波動性，應(yīng)該有一種能正確描述這種量子性質(zhì)的波動方程。很快，奧地利科學(xué)家埃爾溫·薛定諤就通過德布羅意論文的相對論性理論，推導(dǎo)出現(xiàn)在的薛定諤方程。

重要性：薛定諤方程是量子力學(xué)最基本的方程之一，在量子力學(xué)中的地位與牛頓方程在經(jīng)典力學(xué)中的地位相當(dāng)。現(xiàn)代量子力學(xué)和廣義相對論是歷史上最成功的兩大科學(xué)理論，它徹底改變了微觀領(lǐng)域的物理學(xué)，迄今我們進(jìn)行的所有實(shí)驗(yàn)觀測，都與其預(yù)測完全吻合。由于對量子力學(xué)的杰出貢獻(xiàn)，薛定諤榮膺1933年諾貝爾物理獎。

現(xiàn)代應(yīng)用：對大多數(shù)現(xiàn)代技術(shù)來說，量子力學(xué)非常重要，核能、基于半導(dǎo)體的計(jì)算機(jī)以及激光等，都建立在量子力學(xué)的基礎(chǔ)之上。

香農(nóng)的信息論

含義：信息論將信息的傳遞作為一種統(tǒng)計(jì)現(xiàn)象來考慮，給出了估算通信信道容量的方法。

歷史：由在貝爾實(shí)驗(yàn)室工作的美國工程師克勞德·艾爾伍德·香農(nóng)提出。1948年，香農(nóng)發(fā)表了一篇名為《通信的數(shù)學(xué)理論》的專題論文，其中提到了“比特（bit）”，香農(nóng)稱其為“用于測量信息的單位”。在香農(nóng)眼中，信息和長度，重量這些物理屬性一樣，是一種可以測量和規(guī)范的東西。香農(nóng)也提出了用信息熵來定量衡量信息的大小，并提出了這個(gè)信息熵函數(shù)。

重要性：信息熵不僅定量衡量了信息的大小，同時(shí)為信息編碼提供了理論上的最優(yōu)值：信息熵為數(shù)據(jù)無損壓縮的極限。

現(xiàn)代應(yīng)用：香農(nóng)的信息熵測量引發(fā)了科學(xué)家們對于信息的數(shù)學(xué)研究，他的結(jié)論對于現(xiàn)在的網(wǎng)絡(luò)通信至為重要。

邏輯斯蒂增長模型

含義：估算某個(gè)擁有有限資源的跨代種群的變化，更重要的是，這一方程式引出了混沌理論。

歷史：1975年，羅伯特·梅可能是第一個(gè)指出該增長模型可能產(chǎn)生混沌的人。俄羅斯數(shù)學(xué)家弗拉基米爾·阿諾德和美國數(shù)學(xué)家斯蒂芬·斯梅爾的重要工作，使人們認(rèn)識到混沌是微分方程產(chǎn)生的結(jié)果。

對于某個(gè)值確定的K來說，如果以某個(gè)特定的初始值（X）開始，整個(gè)事件將朝著一個(gè)方向演化；但如果以另外一個(gè)初始值開始，即使這個(gè)值與前面的值非常接近，整個(gè)過程仍然會以完全不同的方式演化。

重要性：有助于混沌理論的發(fā)展，這一理論改變了人們對自然系統(tǒng)工作方式的理解。

現(xiàn)代應(yīng)用：用于模擬地震和預(yù)測天氣。

布萊克-斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型

含義：對衍生品定價(jià)基于一個(gè)假設(shè)：它無風(fēng)險(xiǎn)，而且定價(jià)正確時(shí)不存在套利機(jī)會。

歷史：美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家費(fèi)希爾·布萊克和邁倫·斯科爾斯建立了模型，美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家羅伯特·莫頓進(jìn)行了拓展，斯科爾斯和莫頓兩人后來獲得了1997年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎。

重要性：幫助創(chuàng)建了現(xiàn)在上萬億美元的衍生品交易市場。不過，有人辯稱，不當(dāng)使用這一公式（及其推論）導(dǎo)致了金融危機(jī)。尤為重要的是，該方程式中的幾個(gè)假設(shè)，比如對股價(jià)分布和連續(xù)交易的假設(shè)并不適合真實(shí)的金融市場；此外，不考慮交易成本及保證金等的存在，也與現(xiàn)實(shí)不符。

現(xiàn)代應(yīng)用：即便是金融危機(jī)之后，仍有更多的拓展模型被用于對大多數(shù)衍生品進(jìn)行定價(jià)。

作者： 劉 霞 [責(zé)任編輯: 范作言]