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      史上最難邏輯題!

      撰文 BRIAN GALLAGHER

      翻譯 徐付琪

      審校 楊晨 張士超

      本文由微信公眾號“科研圈”(ID:keyanquan)授權(quán)轉(zhuǎn)載

      轉(zhuǎn)載請先聯(lián)系keyanquan@huanqiukexue.com

      1957年,普林斯頓大學(xué)博士生 Raymond Smullyan 在一位理論計算機科學(xué)創(chuàng)始人的指導(dǎo)下學(xué)習(xí)。他偶爾會去紐約玩。一次,他在那里遇到了一位“非常迷人的女音樂家”,情場圣手 Smullyan 在他們第一次約會的步調(diào)上,可謂非?!斑壿嫛?,撩人于無形。

      他說道:“ 我們來做個游戲吧。我先說一句話,如果那句話是真的,可以把你的簽名給我嗎?”

      女音樂家饒有興致地回答:“當(dāng)然?!?/p>

      “不過如果我說的不是真的,那就不要給我簽名了?!?/p>

      “好的…”

      緊接著,他說:“ 你既不會給我簽名也不會給我一個吻?!?/p>

      稍微想一下兒吧,不過你最后肯定能明白 Smullyan 的機智之處。

      按照協(xié)議,如果這句話的是對的,女音樂家就要給 Smullyan 簽名;但這句話成立本身意味著“她不會給他簽名”。而如果這句話若是錯的,那么她就要給他簽名或是吻。這就是她面臨的困境:如果這句話不成立,她就不能給簽名。這樣,Smullyan 巧妙地運用邏輯學(xué),以一句錯誤的話贏得了一個吻。( 更贏得了美好的愛情:二人后來步入了婚姻殿堂。)

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      Raymond Smullyan 圖片來源:mesosyn.com

      Smullyan 喜歡這類邏輯游戲,人們也因為這類邏輯游戲而喜歡他。在休閑數(shù)學(xué)和邏輯方面,他的書《 這本書的書名是什么》(What Is the Name of This Book?)和《 嘲弄一只嘲鶇》(To Mock a Mockingbird)不僅激勵了人們投身邏輯學(xué)研究,同時也改變了數(shù)學(xué)和邏輯學(xué)的教學(xué)方式。在他近百年的人生中,96歲高齡的 Smullyan 不僅為現(xiàn)代邏輯學(xué)奠定了基礎(chǔ),還是一名出色的鋼琴家和魔術(shù)師,甚至還寫了一些關(guān)于道教和象棋的文章。“毋庸置疑,他是邏輯謎題的大師?!彼牟┦可?Bruce Horowitz 這樣評論道。

      史上最難邏輯題

      至今,哲學(xué)家和邏輯學(xué)家們?nèi)灾杂?Smullyan 留下的一項寶貴財富——“世界上最難的邏輯謎題”。這一謎題由麻省理工學(xué)院的邏輯哲學(xué)家 George Boolos 命名。Smullyan的這位同事也是個中好手,熱愛一切邏輯學(xué)難題。他曾經(jīng)自我設(shè)限,只用單音節(jié)詞做了一場哥德爾第二不完備定理的講座,而這條定理,是“現(xiàn)代邏輯學(xué)最重要的成果之一”。

      史上最難邏輯謎題是這么說的:

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      有真、偽、任性三位神,真之神只講真話,偽之神只講假話,任性之神的話或真或假,完全隨機。你要做的是,只通過三個是非問題來確定三者身份,每個問題只能問其中一位神。他們能聽懂你講話,但只會用自己的語言回答,“是”和“否”分別是“噠”和“呀”中的一個,但你不知道對應(yīng)關(guān)系。

      看到這道題時,樂于接受挑戰(zhàn)的我拿起紙筆,扎進沙發(fā),心想這要不了兩個小時就能解這道題。似乎只要一次性提出三個問題,尋找問題對應(yīng)的答案就好。例如,我向甲詢問乙是不是真,向乙詢問甲是不是真,然后再問丙自己是不是真。但是幾個小時過去了,我?guī)缀踉嚤榱俗约耗芟氲降乃袉栴},都沒能成功,我開始理解為什么這道題會被稱作“世上最難”了。很顯然,我的問題不足以讓這三位神告訴我他們的身份。

      十分沮喪的我開始上網(wǎng)尋求指導(dǎo),我發(fā)現(xiàn)攀上這一邏輯謎題高峰的大師是 Boolos,他在1996年解決了這一問題。這一問題求解的過程是我看過的最好的邏輯學(xué)課程之一。如果你想自己嘗試解決這個問題,不妨先不要下拉屏幕。如果你成功的話,我將表示祝賀,如果很不幸沒有成功,你可以接著這篇文章,看 Boolos 是怎樣解決這一問題的。(譯者注:如果只想降低難度,可以一點一點往下看。)

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      額滴神吶:在最難邏輯謎題中,你得判斷真、偽、任性三位大神的真實身份。

      Boolos 的解法中首先聲明的一點是:不要像我上面那樣,先腦子里想好,然后一次性拋出所有問題。你的第一個任務(wù)是想出一個問題,確定誰一定不是任性之神,或者誰只能是真之神或偽之神。這樣你就可以通過排除法確定誰是任性之神,一旦確定了任性之神的身份,剩下的問題就迎刃而解了。

      為了更好地理解這種方法,Boolos 給了我們?nèi)齻€簡化版例子。

      簡化版 I

      這個例子其實就是 Smullyan《這本書的書名是什么?》中經(jīng)典的“騎士和流氓問題”:騎士只說真話,流氓只說假話,如何只提一個是非問題,根據(jù)他們的回答確定兩人身份?

      在解決這個問題之前,不妨設(shè)想這樣的場景:假設(shè)你不清楚冥王星是不是矮行星,決定向周圍的人咨詢,但又不知道對方到底是騎士還是流氓,要怎樣問才能確定冥王星是否為矮行星呢?

      Boolo 解釋說,你得下個套向他們套出你想要的答案。這個套路就是用“當(dāng)且僅當(dāng)”的雙重條件提問。當(dāng)你用當(dāng)且僅當(dāng)“把兩個同真或同假的句子聯(lián)系在一起,這句話一定是真的;但是如果這兩個句子一真一假,這就是句假話?!薄爱?dāng)且僅當(dāng)”就像乘號一樣,同正或同負(fù)的兩數(shù)相乘總得到正的結(jié)果,而在兩句同真或同假的情況下你得到的答案永遠是真的。

      現(xiàn)在這個情景下就是:“當(dāng)且僅當(dāng)冥王星是矮行星時,你是騎士嗎?”

      (譯者注:不習(xí)慣使用“當(dāng)且僅當(dāng)”的同學(xué),可以這樣理解:冥王星是矮行星,你是騎士,這兩個命題的真假相同嗎?)

      聽你提問的人要么是騎士、要么是流氓,得到的回答共有四種可能:

      如果這個人是騎士,冥王星是矮行星,那么答復(fù)是“是”;因為“當(dāng)且僅當(dāng)”聯(lián)系的兩句話都是真的,而騎士總是說真話。

      如果這個人是騎士,冥王星不是矮行星,那么答復(fù)是“否”;因為問題中包含一句錯話。

      如果這個人是流氓,冥王星是矮行星,那么答復(fù)是“是”;因為流氓總說謊,正確的答案應(yīng)該是“否”。

      如果這個人是流氓,冥王星不是矮行星,那么答復(fù)是“否”,因為正確的答案是“是”。

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      看看我們得到了什么結(jié)果:使用雙重條件句提問,就一定能得到我們想要的信息。如果冥王星是矮行星,得到的回答就是“是”,否則就是“否” 。

      但是要注意,“史上最難邏輯謎題”與“騎士和流氓”有所不同——你聽不懂他們的答復(fù)。

      簡化版 II

      在這個例子里,你知道自己在詢問只說真話的騎士,但是他只能用“噠”或“呀”回復(fù)你。這種情況下,你要通過怎樣一個是非問題判斷出冥王星是否為矮行星呢?

      參照上一題的思路,問騎士“當(dāng)且僅當(dāng)冥王星是矮行星時,‘噠’是‘是’的意思嗎?”正是這樣!即便我們不知道這兩個詞的含義,但如果冥王星是矮行星的話,你一定會得到“噠”的答復(fù);如果不是則回復(fù)為“呀”。上一個例子中,我們不必弄清這個人到底是騎士還是流氓;而在這個例子中,我們也不需要弄清“噠”和“呀”的含義。

      按照 Boolos 的說法,“史上最難邏輯題”就是前兩個簡化版問題和第三個問題的組合。在解決它之前,我們先整合一下前兩個問題:

      為了判斷冥王星是否為矮行星,面對一個不知是騎士還是流氓的人,而且他只會回答“噠”或“呀”,你會怎樣提問呢?如果你想的是,既然這是個復(fù)合問題,我們不妨用復(fù)合的提問方式,那你就想對了?!爱?dāng)且僅當(dāng)冥王星是矮行星時你是騎士,當(dāng)且僅當(dāng)前一句為真時,‘噠’的含義是‘是’嗎?”這樣,不論你問的是騎士還是流氓,如果冥王星是矮行星,你得到的答復(fù)就是“噠”;如果不是,則為“呀”。這種構(gòu)思巧妙的問題是解開謎題的鑰匙。

      每個問題的真假都是確定的,不存在模棱兩可的情況。

      簡化版 III

      我把三張牌倒扣放在你面前,三張牌背面一樣但正面分別是兩紅一黑,你不清楚它們的順序,但是我知道。你要指著其中一張牌,問我一個是非問題以確定其中的一張紅色牌。如果你指到紅牌的話,我就會像騎士一樣說真話;如果指到黑牌,我就會效仿任性之神,可能說真話也可能說假話。那么你會指哪里,問什么問題呢?

      這個問題看起來似乎更復(fù)雜,但事實上完全不是。你只需要隨意指一張牌問剩下的兩張牌中的一張是否為紅色。例如你指向中間的牌,然后問它左側(cè)那張是否為紅色。不論中間的牌是不是紅色,如果我告訴你“是”的話你選左邊,“否”的話選右邊,你選的牌都一定是紅色的。為什么呢?如果中間是張紅牌,那么我回答“是”就說明它左邊也是紅牌;如果回答“否”,則說明右邊是紅牌。如果中間是張黑牌,那么“是”或“否”都沒有關(guān)系,因為此時它的左右都是紅牌。所以,不論你指的是不是紅牌,只要你要猜的牌不是你所指的牌,你所得到的“是”或“否”,都能幫你確定另一張紅牌。

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      這種指著一張牌問另一張牌的策略也可以用在“史上最難邏輯謎題”中,找出那個回答或真或假的神 。 指向一張牌本身也是你提問的一部分,換成文字來說,相當(dāng)于用指出某位是任性之神的斷言,代替了上個復(fù)合問題中“冥王星是不是矮行星”的事實提問。這和決定指向哪張牌其實是一樣的。誰是任性之神的答案取決于向誰提問,但是這并不重要,向三位神中的任何一位提問都能得到答案。

      破解最難題

      我們可以向甲神詢問乙神是不是任性之神:“當(dāng)且僅當(dāng)乙是任性之神時你是真之神,當(dāng)且僅當(dāng)前一句為真時‘噠’才可以理解成‘是’嗎?”你同樣也可以指著乙神而問甲神的身份。在第三個例子里,不管回答如實還是隨機,你都可以根據(jù)“是”或者“非”來確定一張紅色的牌。在這里也一樣,不論甲的身份如何,如果你得到的答案是“噠”,那么丙就是真之神或偽之神中的一個;如果答案是“呀”,那么乙就是真之神和偽之神中的一個。

      假設(shè)答案是“呀”(回答必居其一),那么乙就排除了是任性之神的可能,這正是我們想要的結(jié)果,因為我們知道怎么確定這種情況下對方的身份,于是我們問他第二個問題:“當(dāng)且僅當(dāng)冥王星是矮行星時,‘噠’才意味著‘是’嗎?”,因為我們知道冥王星是矮行星,那么乙的兩種回答就有:

      1、如果乙是真之神,那么答案就是“噠”。

      2、如果乙是偽之神,那么答案就是“呀”,因為正確的答案是“噠”,而他總是講假話。

      假設(shè)答案是“噠”,那么乙就是真之神。此時我們向他詢問最后一個問題,“當(dāng)且僅當(dāng)甲是任性之神時,‘噠’的意思才是‘是’嗎?”考慮到任性之神只可能是甲或丙中的一個,那么:

      1、如果回答是“噠”,即可說明甲是任性之神,于是丙就是偽之神。

      2、如果 回答是“呀”,即可說明丙是任性之神,于是甲就是偽之神。

      讓我們回過頭來總結(jié)下 Boolos 的邏輯,我們判斷真、偽、任性之神的三個問題是這樣的:

      1、向甲神提問:“當(dāng)且僅當(dāng)乙是任性之神時你是真之神,當(dāng)且僅當(dāng)上一句為真時‘da’的意思才是‘是’嗎?”(假設(shè)甲回答“呀”,那么乙就是真之神或偽之神。)

      2、向乙提問:“當(dāng)且僅當(dāng)冥王星是矮行星時,“噠”才意味著‘是’嗎?”(假設(shè)乙回答“噠”,那么乙就是真之神。)

      3、繼續(xù)追問乙(真之神):“當(dāng)且僅當(dāng)甲是任性之神時,‘噠’才意味著‘是’嗎?”由于乙是真之神,他如果回答“噠”就意味著甲是任性之神,丙是偽之神。

      問題解決!

      所以“史上最難邏輯謎題”教會了我們什么呢?按照Boolos的說法,它告訴我們邏輯學(xué)基本方法里“排中律”的重要性。排中律的基本思想非常簡單:每句話或者是真的、或者是假的,但不可能處于中間情況。Boolos說:“如果否認(rèn)排中律的作用,那么在日常生活中,我們恐怕會完全喪失在多種可能中做判斷的能力。”這是條讓人清醒的思想。我們必須感謝Smullyan的謎題,讓我們在愉悅的思考中學(xué)到了這一課。

      原文鏈接 : http://nautil.us/issue/30/identity/how-to-solve-the-hardest-logic-puzzle-ever

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      編輯:Alex Yuan

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