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今天,是國際數(shù)學(xué)節(jié),也是圓周率日。說到圓周率,不得不提的人自然是我國古代數(shù)學(xué)家祖沖之。很少有人知道,除了數(shù)學(xué)外,祖沖之在天文、機械等多個領(lǐng)域都頗有研究,甚至還精通樂理、音韻。
割之彌細(xì),所失彌少……
——劉徽(魏晉)
撰文:蔡天新(浙江大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院)
責(zé)編:李娟、韓琨
一、祖沖之與圓周率
祖沖之祖籍河北淶水,該縣如今隸屬保定市,與北京市的門頭溝區(qū)和房山區(qū)相接。但他于公元429年出生于南北朝時期南朝的政治、經(jīng)濟中心建康(今南京),這是比較稀罕的,依筆者之見,大都市不容易產(chǎn)生天才人物。自從317年晉室(東晉)南遷以來,江南地區(qū)的經(jīng)濟迅速發(fā)展,出現(xiàn)了一些繁榮的城市,建康是其中較為突出的代表。
祖家是一個官宦人家,祖沖之的曾祖父在東晉時官至侍中、光祿大夫,相當(dāng)于宰相和國策顧問之類。他的祖父和父親都在南朝做官,祖父是大匠卿,掌管宮室、宗廟、陵寢等的土木營建;父親是奉朝請,這是閑散大官。古時稱春季的朝見為朝,秋季的朝見為請。這個家族的歷代成員,大多對天文歷法頗有研究。
相比之下,祖沖之擔(dān)任過的官職較低,卻在天文學(xué)和數(shù)學(xué)領(lǐng)域,乃至機械制造方面較其前輩取得更為杰出的成就。在劉宋時期,他曾出任南徐州從事史,這是督促文書、察舉非法的官職。必須指出的是,南徐州并非徐州之南,而是徐州東南三百多公里以外的鎮(zhèn)江。他還做過婁縣(今蘇州昆山)縣令,也做過掌朝廷禮儀與傳達(dá)使命的謁者仆射。到了蕭齊王朝,祖沖之官至長水校尉,這是他一生擔(dān)任過的最高官職(四品)。
從青年時代開始,祖沖之便對數(shù)學(xué)和天文學(xué)懷有濃厚興趣,他曾在著作中自述說,自幼起“專功數(shù)術(shù),搜煉古今”。祖沖之把上古時起至他生活年代的各種文獻(xiàn)資料搜羅來研究,同時親自進(jìn)行精密的測量和仔細(xì)的推算,也不把自己束縛在古人陳腐的思想中??梢哉f,祖沖之批判地接受了前人的學(xué)術(shù)遺產(chǎn),并勇于提出自己的新見解,這是古往今來一切杰出科學(xué)家共有的優(yōu)良品質(zhì)。
在數(shù)學(xué)領(lǐng)域,祖沖之師承的是比他早兩百多年的魏晉時期的劉徽,后者發(fā)明了計算圓周率的“割圓術(shù)”和計算球體積的方法。由圓面積計算公式,容易得知,只要求得圓的面積,再除以半徑的平方,即為圓周率。而如何求圓面積,劉徽在《九章算術(shù)》的注釋里這樣寫道,割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓合體而無所失矣。
劉徽從圓內(nèi)接正六邊形開始計算面積,依次將邊數(shù)加倍,求出內(nèi)接正十二邊形、正二十四邊形、正四十八邊形等等的面積。隨著邊數(shù)的增加,內(nèi)接正多邊形的面積越來越接近圓的面積,圓面積和圓周率的精確度就越高。
在古代,包括中國和巴比倫在內(nèi)的一些民族,都把3作為圓周率。這方面,古埃及人的計算較為準(zhǔn)確,他們得到的圓周率為3.1。劉徽用他的割圓術(shù),求得圓周率為3.14,這與古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德算得的圓周率是一致的,后者比劉徽要早六個世紀(jì)。也有人認(rèn)為劉徽算出了3.1416,但未有足夠的證據(jù)。
祖沖之計算出的圓周率 范圍為:
3.1415926<<3.1415927
即精確到小數(shù)點后7位。此外,他還得了被稱為密率的這個分?jǐn)?shù)的圓周率,雖然只精確到小數(shù)點后6位,卻同樣讓人驚嘆。直到962年以后,祖沖之的圓周率才被阿拉伯統(tǒng)治下的波斯數(shù)學(xué)家卡西改進(jìn)。卡西利用了余弦函數(shù)的半角公式,簡化了計算,精確到了小數(shù)點后17位。而德國人奧托求得密率,則比祖沖之晚了一千多年。
祖沖之的成就是如何取得的?沒有任何史料流傳下來,因為祖沖之的著作全部失傳了,而記載圓周率值的《隋書》又沒有具體交代。由于當(dāng)時只有劉徽的割圓術(shù)一種方法,因此,我們只能猜測祖沖之用的是同樣的方法。那樣的話,他需要算出圓內(nèi)接正24576邊形的面積,而密率(有日本學(xué)者建議稱為祖率)的求得恐怕是借助于前輩天文學(xué)家何承天發(fā)明的“調(diào)日法”。
二、球體積與大明歷
相比圓的面積,球(古人稱為立圓)體積的計算公式更富技巧。在中國古典數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》里,是按照以下比例公式來求球體積的:
顯而易見,正方形面積、圓面積和圓柱體體積這三項數(shù)據(jù)是比較容易求得的。
祖沖之知道這個公式有誤,他在《駁議》中寫道,“至若立圓舊誤,張衡述而弗改……此則算氏劇疵也……臣昔以暇日,撰正眾謬。”可見球體積也是祖沖之的工作,但是,四百年以后,唐代學(xué)者李淳風(fēng)卻在為《九章算術(shù)》所寫的注文中,將這一工作歸功給了祖沖之的兒子 祖暅,把它作為“祖暅開立圓術(shù)”加以引述。無論如何,我們可以將此看成是祖氏父子共同的研究成果。
說起來,祖沖之父子的這一成就,也是在劉徽的工作基礎(chǔ)上完成的。劉徽首先發(fā)現(xiàn)上述比例的錯誤,并提出“牟合方蓋”的新概念,這是垂直相交的兩個同樣直徑的圓柱體的共同部分。在上述比例公式中,劉徽用牟合方蓋體積來代替圓柱體體積,即得
這個思想和方法是正確的,可惜的是,劉徽本人求不出牟合方蓋的體積。這一步是由祖氏父子完成的,他們把牟合方蓋以外的部分分成三塊,稱為“外三棋”,經(jīng)過適當(dāng)?shù)恼{(diào)整、拼貼,求得那部分占立方體體積的三分之一。那樣一來,牟合方蓋的體積自然占了三分之二。再利用上述比例等式,便可求得球體積公式為:
不難想象,當(dāng)年祖沖之父子得到這個公式時,是何等的喜悅和激動??墒?,他們有所不知的是,這個公式早在公元前3世紀(jì)就有了,它同樣得自于有著“數(shù)學(xué)之神”雅稱的古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德。
除了數(shù)學(xué)領(lǐng)域,祖沖之在天文學(xué)方面也有成就。經(jīng)過實際觀察,他發(fā)現(xiàn)何承天制定的為當(dāng)時劉宋王朝所采納的元嘉歷有不少錯誤。例如,冬至?xí)r太陽所在宿度距實測已差三度,冬至、夏至?xí)r刻已差一天,五星(金木水火土)的出沒時間更是相差40天。于是,祖沖之便動手編制了新的歷法——《大明歷》,這是那個時代最準(zhǔn)確的歷法。
公元462年,33歲的祖沖之上表孝武帝劉駿,請他對新的歷法進(jìn)行討論。不料,卻遭到皇帝寵幸的大臣戴法興的反對。朝中百官懼怕戴的勢力,多有所附和。祖沖之理直氣壯,勇敢地進(jìn)行了辯論,并寫下了著名的《駁議》呈送皇帝。文中有他的兩句名言,“愿聞顯據(jù),以核理實”“浮辭虛貶,竊非所懼”。這場辯論反映了進(jìn)步與保守、科學(xué)與反科學(xué)兩種勢力的斗爭,這也是科學(xué)的每一次進(jìn)步常會遇到的。
由于種種阻礙,直到半個世紀(jì)以后,已經(jīng)過了劉宋王朝和蕭齊王朝,終于在梁朝天監(jiān)九年(510年),由于祖暅的堅決請求,再經(jīng)過實際天象的校驗,大明歷才得以“甲子元歷”之名正式頒行,那時祖沖之已去世10年了?!凹鬃釉獨v”引入了“歲差”的概念,把舊歷中每19年閏7年改為每391年閏144年,使得一年的誤差僅50秒。直到宋代,才有更好的歷法出現(xiàn)。
三、指南針和千里船
除了數(shù)學(xué)和天文學(xué)方面的工作以外,祖沖之還制造過各種奇巧的機械,包括指南針和千里船,同時他還通曉音律,堪稱畢達(dá)哥拉斯式或阿基米德式的博學(xué)多才的科學(xué)人物。指南針的名稱在我國由來已久,但其機制構(gòu)造均未見流傳。據(jù)說三國時期的大發(fā)明家馬鈞曾制造出指南針,但到晉時早已失傳。
說到馬鈞,他是陜西興平人,不善言辭,還口吃,有點像16世紀(jì)那位給出三次方程一般解的意大利人塔爾塔利亞。除了指南針,他還奉詔制木偶百戲,民間稱“水轉(zhuǎn)百戲”。又改造了織綾機,將工效提高了四五倍。馬鈞還改良了用于農(nóng)業(yè)灌溉的龍骨水車,以及由諸葛亮發(fā)明的軍事機械連弩,后者是一種可以連續(xù)射箭的裝置。
據(jù)說,東晉末年,南朝劉宋的開國皇帝劉裕攻入十六國時期后秦的首都長安,得到的許多器物中就有指南針,但“機數(shù)不精,雖曰指南,多不審正,回曲步驟,猶須人功正之”。南朝最后一個皇帝順帝在位時,輔政的蕭道成“使沖之追修古法。沖之改造銅機,圓轉(zhuǎn)不窮而司方入如一,馬鈞以來未有也?!?/p>
除了指南針,祖沖之還“以諸葛亮有木牛流馬,乃造一器”,此器“不因風(fēng)水,施機自運,不勞人力”。但因缺乏圖像資料,我們無法想象這是何種機械。不過,祖沖之“又造千里船,于新亭江試之,日行八百里”。顯然這是一種快船,卻不知新亭江在何處?是否是長江上的一段呢?他又“于樂游苑內(nèi)造水碓磨,武帝(齊武帝,483-494年在位)親自臨視”。
祖沖之的成就不僅限于自然科學(xué)方面,他還精通樂理、對于音律很有研究。有史料記載,“沖之解鐘律博塞當(dāng)時獨絕,莫能對者”。 (注:以上諸引言出自《南齊書》或《南史》中的《祖沖之傳》。)另外,祖沖之還著有《易義》《老子義》《莊子義》《釋論語》等哲學(xué)著作,可惜與他的數(shù)學(xué)書一樣均已失傳。他的文學(xué)作品有《述異記》,在宋代的類書《太平御覽》等古籍中,尚可以看到此文的片斷摘錄。
在祖沖之生活的年代,算盤尚未發(fā)明,人們使用一種叫算籌的計算工具,它是一根根幾寸長的方形或扁形的小棍子,有竹、木、鐵、玉等材料。計算數(shù)字的位數(shù)越多,所需要擺放的面積就越大,籌算計算一次就要用筆記下結(jié)果,這樣就無法得到直觀的圖形和算式。因此只要有差錯,就只能從頭開始。祖沖之精益求精,反復(fù)籌算,才求得圓周率的精準(zhǔn)數(shù)值。
至于祖暅,他的生卒年代不詳,只知他曾任太府卿,這是南朝設(shè)置的掌管金帛財帑的官職。由于受家庭尤其是父親的影響,祖暅從小就對數(shù)學(xué)有濃厚的興趣,祖沖之的《大明歷》便是在祖暅三次建議的基礎(chǔ)上完成的。祖沖之的代表作、曾列入唐代數(shù)學(xué)教科書并流傳朝鮮和日本的《綴術(shù)》經(jīng)學(xué)者們考證,有些條目系祖暅所作。至于球體積的計算公式,則應(yīng)該是祖暅一生最具代表性的發(fā)現(xiàn)(如果是他發(fā)現(xiàn)的話)。
縱觀祖沖之父子的兩項主要數(shù)學(xué)成就,因為阿基米德早已給出球體積計算公式,圓周率方面的工作更為世人稱道。但那就像體育比賽的記錄一樣,是為了被人打破而出現(xiàn)的。自從有了無窮級數(shù)的表示法和計算機,圓周率的人為競爭便失去了意義。個人認(rèn)為,南宋數(shù)學(xué)家秦九韶的兩項成就——中國剩余定理和秦九韶算法更有意義,也更重要。但圓周率的結(jié)論和故事無疑更容易被普通人了解,也更符合國人的英雄想象。
作者簡介
蔡天新: 浙江大學(xué)教授,詩人、隨筆家,近作有《數(shù)學(xué)傳奇》《數(shù)之書》《里約的誘惑:回憶拉丁美洲》《輕輕掐了她幾下》等。
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