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      黎曼面??臻g與霍奇積分漫談

      給定虧格的所有緊致黎曼面的集合,可以附加某種結(jié)構(gòu)形成??臻g。黎曼面??臻g的幾何性質(zhì)在數(shù)學(xué)與物理的許多領(lǐng)域都有重要應(yīng)用。我們將探討黎曼面模空間的一種幾何計數(shù)不變量——霍奇積分。

      撰文:徐浩(美國匹茲堡大學(xué)數(shù)學(xué)系)

      責(zé)編:譚曳

      數(shù)學(xué)家引入??臻g是為了研究數(shù)學(xué)中某些特定對象的分類問題。舉個通俗的例子,甜甜圈可以看成一種曲面,數(shù)學(xué)家對其上的一種幾何結(jié)構(gòu)——復(fù)結(jié)構(gòu)感興趣(復(fù)結(jié)構(gòu)好比甜甜圈上各種口味的果醬)。人們發(fā)現(xiàn)所有不同的復(fù)結(jié)構(gòu)可以放在一起組成一個空間(想象貨架上擺放的各色果醬,要求沒有兩瓶果醬是相同的),滿足鄰近的復(fù)結(jié)構(gòu)連續(xù)變化(桔味果醬邊上必須擺的是香橙、橘子或者柚子果醬)。這種甜甜圈的??臻g,自帶一些奇妙的幾何與算術(shù)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)家研究??臻g上的一種特殊函數(shù),叫做模形式(定制的多味果醬甜甜圈),這在英國數(shù)學(xué)家懷爾斯證明費馬大定理的工作中起了關(guān)鍵的作用。了解??臻g的局部結(jié)構(gòu)需要研究曲面的形變,即曲面族的概念(如同甜甜圈禮盒套裝)。

      上面的例子稱為橢圓曲線??臻g,可以表示為下圖中向上延展到無窮的灰色區(qū)域,數(shù)學(xué)家稱之為基本域。

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      橢圓曲線??臻g對應(yīng)虧格為1的黎曼面??臻g(沒有鏡片的眼鏡架可以看做是虧格為2的黎曼面,以此類推)。類似地,也存在任意虧格的黎曼面??臻g。比如虧格為2的黎曼面??臻g,可以看做球面上選取6個不同點的所有可能的方式構(gòu)成的集合。對于虧格更高的黎曼面??臻g,描述起來就更加困難了。

      黎曼面模空間的嚴格構(gòu)造,是20世紀后半葉數(shù)學(xué)發(fā)展的輝煌成就。但是早在1857年,黎曼就計算出了虧格為g的黎曼面模空間的維數(shù)等于6g-6,預(yù)言了它們在數(shù)學(xué)中的重要性。即使只對單個黎曼面的性質(zhì)感興趣,??臻g也是有用的工具。這一點比較好理解,就像我們可以通過觀察“朋友圈”,更全面地了解一個人。

      受黎曼影響,19世紀末到20世紀初期的意大利和德國代數(shù)幾何學(xué)家們,在工作中廣泛應(yīng)用黎曼面??臻g,雖然許多證明并不嚴格,而且在連模空間的定義都很模糊的情況下,他們依然得到了一些漂亮的結(jié)果。沒有橋只能先摸著石頭過河的例子在數(shù)學(xué)上有很多。比如有限單群分類中最大的散在單群——魔群的構(gòu)造直到1982年才給出,但是人們很早就預(yù)測它的存在,還計算出它有194個不可約表示,啟發(fā)了McKay在1978年發(fā)現(xiàn)月光魔群猜想。

      霍奇積分與威滕猜想

      黎曼面??臻g至今仍有許多待解難題。前面提到形變理論可以研究??臻g的局部結(jié)構(gòu),而窺探黎曼面??臻g整體幾何性質(zhì)的一種辦法是通過計算其上的各種霍奇積分。自從牛頓和萊布尼茨在17世紀引入積分的概念以來,積分早已不僅僅局限于歐氏空間。流形、測度空間、??臻g上的積分已經(jīng)是數(shù)學(xué)和物理學(xué)的常規(guī)工具。甚至積分值也可以不再是數(shù),比如Motivic積分得到的是代數(shù)簇。

      由于黎曼面??臻g的復(fù)雜構(gòu)造,傳統(tǒng)代數(shù)幾何方法面對霍奇積分束手無策。許多年來數(shù)學(xué)家只能算一些特殊的簡單霍奇積分。直到1990年物理學(xué)家威滕(Edward Witten)提出了一個驚人的猜想,可以很輕松計算黎曼面??臻g上的一大類霍奇積分。

      威滕的想法來自于弦論,研究二維重力理論有兩種看似不同卻等價的途徑——拓撲重力理論和矩陣模型,前者可以用霍奇積分的生成級數(shù)表示,后者可以表示成KdV方程的解。如果威滕猜想成立,計算霍奇積分就只需要解KdV方程就可以了。

      以橢圓曲線模空間的霍奇積分為例,我們可以再用甜甜圈和果醬做個類比。一家新開張的甜甜圈店老板想要購買一批果醬,自然要比較各種品牌的價格。不同品牌的果醬總價好比橢圓曲線??臻g上不同的霍奇積分。因為是新店開張,老板只能親自跑去一家家超市查詢價格,不但繁瑣而且容易出錯。這時候一位果醬經(jīng)銷商登門拜訪,告訴老板,他這里有所有果醬品牌的價目表,不但送貨上門,量大還可以打折……

      弦論認為自然界萬物的基本單元是一條振動的弦,它在時空中的運動軌跡形成黎曼面。KdV方程是19世紀數(shù)學(xué)家研究水波提出的方程,它的解人們已經(jīng)研究得很透徹了。威滕猜想破天荒把霍奇積分與KdV方程這兩個之前毫不相關(guān)的領(lǐng)域聯(lián)系在一起,數(shù)學(xué)家的欣喜一點不亞于甜甜圈店老板。正可謂“弦舞重力動乾坤,參??臻g起漣漪?!?/p>

      1991年,年僅27歲的康切維奇(Maxim Kontsevich)在波恩大學(xué)訪問期間證明了威滕猜想。這是康切維奇獲得1998年菲爾茲獎的主要成果之一。威滕和康切維奇都是同時通曉物理和數(shù)學(xué)的奇才。威滕本科學(xué)的是歷史,研究生念過經(jīng)濟學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué),然后才讀的物理博士。康切維奇1992年獲得波恩大學(xué)博士學(xué)位,這也是他生平的第一個學(xué)位。

      莫扎哈尼與韋伊-皮特森體積

      黎曼面模空間的韋伊-皮特森體積也是一種霍奇積分,與韋伊-皮特森度量和雙曲幾何有密切聯(lián)系。

      莫扎哈尼(Maryam Mirzakhani)是第一位獲得菲爾茲獎的女數(shù)學(xué)家。她在博士論文中給出了韋伊-皮特森體積新的遞歸公式,并應(yīng)用其證明了黎曼面上給定長度的簡單測地線數(shù)目的多項式漸近,并給出了威滕猜想的新證明。她把McShane等式從環(huán)面推廣到任意虧格曲面,發(fā)展模空間上新的積分方法,用辛約化建立與相交數(shù)的聯(lián)系等,都是很原創(chuàng)的工作。莫扎哈尼博士畢業(yè)不到3年就收到了哈佛、普林斯頓、斯坦福、芝加哥大學(xué)的正教授職位邀請。

      2006年,加州大學(xué)戴維斯分校Mulase教授和他的學(xué)生Safnuk發(fā)現(xiàn),莫扎哈尼遞歸公式可以寫成一種等價的微分形式。記得劉老師讓我讀莫扎哈尼和Mulase-Safnuk的文章,我們發(fā)現(xiàn)可以把莫扎哈尼遞歸公式推廣到高次韋伊-皮特森體積。后來我們的工作還被莫扎哈尼用于研究韋伊-皮特森體積的大虧格漸近展開。

      Marino-Vafa猜想

      2001年兩位物理學(xué)家Marino和Vafa通過研究陳-西蒙斯理論和卡拉比-丘空間的大N對偶關(guān)系,猜測黎曼面模空間上一類霍奇積分的生成級數(shù)可以表達為關(guān)于對稱群表示的組合閉公式。

      物理學(xué)家認為,目前已知的五種弦理論之間存在對偶關(guān)系(即某種變換下的等價關(guān)系)。陳-西蒙斯理論和卡拉比-丘空間的大N對偶關(guān)系是其中一例。陳-西蒙斯理論源自陳省身與西蒙斯關(guān)于示性類的工作,是威滕開創(chuàng)的一種拓撲量子場論,在扭結(jié)和三維流形理論中有重要應(yīng)用。西蒙斯在極小子流形、和樂群分類、示性類等領(lǐng)域都有重要貢獻。80年代初期他離開數(shù)學(xué)創(chuàng)辦對沖基金,成為億萬富翁。

      劉克峰與劉秋菊、周堅合作,在2003年完成了Marino-Vafa猜想的證明。Marino-Vafa公式與威滕-康切維奇公式相比,前者的霍奇積分更加廣泛,而且從Marino-Vafa公式出發(fā),可以統(tǒng)一推導(dǎo)出包括威滕-康切維奇公式在內(nèi)的許多霍奇積分恒等式。后來,劉克峰與李駿、劉秋菊、周堅合作推廣他們的方法建立數(shù)學(xué)拓撲頂點理論。劉老師的學(xué)生彭磐用這一新的理論證明了著名的Gopakumar-Vafa猜想。

      黎曼面??臻g的幾何度量

      黎曼面模空間的度量,不僅可以告訴我們兩個黎曼面之間的距離,而且可以蘊涵許多幾何拓撲性質(zhì)。丘成桐1977年證明卡拉比猜想,使得凱勒-愛因斯坦度量成為復(fù)幾何研究的重要工具,一大批難題得以解決。開創(chuàng)了幾何分析的黃金時代??ɡ?丘空間也成為超弦理論的基石。

      推廣證明卡拉比猜想的方法,丘成桐在80年代初期與鄭紹遠、莫毅明合作證明了黎曼面??臻g上凱勒-愛因斯坦度量的存在性。丘成桐還猜測黎曼面??臻g上的凱勒-愛因斯坦度量與經(jīng)典的Teichmuller度量,Bergman度量都是等價的。

      劉克峰與孫曉峰、丘成桐合作,通過引進全新的Liu-Sun-Yau度量,分析曲率漸近性質(zhì),最終證明了丘成桐猜想,并解決了這個領(lǐng)域里許多與度量等價性相關(guān)的古老問題。作為推論,還得出??臻g對數(shù)余切叢穩(wěn)定性的代數(shù)幾何結(jié)果。這個結(jié)果代數(shù)幾何學(xué)家至今仍無從下手。

      用復(fù)解析方法研究代數(shù)幾何的數(shù)學(xué)分支被稱為超越代數(shù)幾何。解析方法往往比代數(shù)方法更為直觀,長期以來大多數(shù)深刻的代數(shù)幾何結(jié)果都是最先由解析方法證明的。小平邦彥是超越代數(shù)幾何的先驅(qū),他在1953年用解析方法證明以他名字命名的消滅定理,第一個代數(shù)證明直到1987年才由Deligne-Illusie給出。丘成桐1977年發(fā)表的文章《卡拉比猜想與代數(shù)幾何若干新結(jié)果》是超越代數(shù)幾何的里程碑,其中用凱勒-愛因斯坦度量解決了Severi猜想和Bogomolov-Miyaoka-Yau陳數(shù)不等式等眾多長期懸而未決的代數(shù)幾何難題。

      法伯猜想

      瑞典皇家科學(xué)院院士法伯在上世紀90年代提出關(guān)于黎曼面??臻g萬有環(huán)的系列猜想。其中與萬有環(huán)的乘積結(jié)構(gòu)有關(guān)的法伯相交數(shù)猜想,是一個霍奇積分恒等式,蘊涵霍奇積分的一些奇妙的組合結(jié)構(gòu)。

      2006年,斯坦福大學(xué)瓦開教授與兩位加拿大皇家科學(xué)院院士Goulden和Jackson應(yīng)用格羅莫夫-威滕理論證明了法伯相交數(shù)猜想在標示點不超過4的情形。劉老師建議我結(jié)合計算機研究法伯猜想。2008年,我們通過威滕-康切維奇定理推導(dǎo)n點函數(shù)遞歸公式,并用其給出了法伯相交數(shù)猜想的完整證明。

      法伯猜想中至今還未解決的是法伯Gorenstein猜想,即萬有環(huán)滿足龐加萊對偶。法伯驗證了虧格不超過23的情形。在高虧格時有兩方面的挑戰(zhàn),一方面要找到足夠多的萬有關(guān)系,另一方面要計算期望的Gorenstein維數(shù)。2009年,劉老師和我給出計算Gorenstein維數(shù)的新方法。應(yīng)用我們的工作,法伯發(fā)現(xiàn)在虧格為24時,法伯-扎吉爾關(guān)系式在余維數(shù)12時恰好比Gorenstein維數(shù)少1;訚琪崢博士在帶標示點的黎曼面??臻g也發(fā)現(xiàn)了類似的高虧格缺失關(guān)系。自此人們開始認為法伯Gorenstein猜想很可能不成立。

      總結(jié)

      本文講述的內(nèi)容只是作者有所涉足的黎曼面??臻g之冰山一角。黎曼面??臻g的研究幾乎涉及所有數(shù)學(xué)分支。如劉克峰老師常對學(xué)生說的那樣:“??臻g的數(shù)學(xué)都是好的數(shù)學(xué)。??臻g的任何結(jié)果都可以流傳下來。”黎曼與霍奇是不同時代的大數(shù)學(xué)家,但他們也有交集,比如霍奇理論中非常重要的霍奇-黎曼雙線性關(guān)系?;羝胬碚撌?0世紀超越代數(shù)幾何的重要工具,黎曼面的霍奇理論可以追溯到19世紀黎曼的工作。

      致謝

      感謝丘成桐教授、劉克峰教授和王善平教授對本文的寶貴建議。

      后記

      本文可看作劉克峰教授的文章《知識技巧與想象力》的讀后感。筆者2009年在浙江大學(xué)數(shù)學(xué)中心師從劉教授獲得博士學(xué)位,現(xiàn)任教于美國匹茲堡大學(xué)。作者無比敬佩劉老師的為人、處事和治學(xué)。衷心感激劉老師的諄諄教誨和培養(yǎng)之恩。2017新年再讀《知識技巧與想象力》,讀到“想象力比知識更重要”,“做數(shù)學(xué)永遠要順流而下,要追求輕舟已過萬重山般的流暢”兩句時感觸尤深。撰文之余,作詩一首,與劉門學(xué)子共勉。

      劉師教誨有感

      學(xué)生:徐浩、樓筱靜

      玉泉曾經(jīng)留月影

      劉門幾度拓華弦

      梅山鶴亭終有徑

      謙思恪學(xué)自成蹊

      感謝新加坡國立大學(xué)韓飛教授對第三、四句詩的啟發(fā)。感謝浙大數(shù)學(xué)中心全體師生員工,所有師兄師弟師妹們的友誼。

      參考文獻

      [1] 劉克峰,《知識技巧與想象力》

      http://www.cms.zju.edu.cn/news.asp?id=694

      [2] 劉克峰,《物理激發(fā)的數(shù)學(xué)》

      http://theory.gmw.cn/2011-01/17/content_1549100.htm

      [3] 徐浩,樓筱靜,《劉師教誨有感(附注)》

      http://blog.sciencenet.cn/blog-3298437-1027442.html

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