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      5個沒人能解決的“簡單”數(shù)學問題

      本文由微信公眾號“環(huán)球科學”(ID:ScientificAmerican)授權(quán)轉(zhuǎn)載。

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      數(shù)學有時候會變得特別復雜,然而幸好不是所有的數(shù)學問題都晦澀難懂。這篇文章將會向大家介紹數(shù)學領(lǐng)域中五個有趣的問題,問題本身簡單易懂,但迄今仍未被數(shù)學家們解決。

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      1. Collatz 猜想

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      隨意選一個整數(shù),如果它是偶數(shù),那么將它除以2;如果它是奇數(shù),那么將它乘以3再加1。對于得到的新的數(shù),重復操作上面的運算過程。如果你一直操作下去,你每次都終將得到1。

      數(shù)學家們試驗了數(shù)百萬個數(shù),至今還沒發(fā)現(xiàn)哪怕一個不收斂到1的例子。然而問題在于,數(shù)學家們也沒辦法證明一定不存在一個特殊的數(shù),在這一操作下最終不在1上收斂。有可能存在一個特別巨大的數(shù),在這一套操作下趨向于無窮,或者趨向于一個除了1以外的循環(huán)的數(shù)。但沒有人能證明這些特例的存在。

      2. 移動沙發(fā)問題

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      你要搬新家了,想把你的沙發(fā)搬過去。問題是,走廊有個轉(zhuǎn)角,你不得不在角落位置上給沙發(fā)轉(zhuǎn)方向。如果這個沙發(fā)很小,那沒什么問題。如果是個挺大的沙發(fā),估計得卡在角落上。如果你是個數(shù)學家,你會問自己:能夠在角落上轉(zhuǎn)過來的最大的沙發(fā)有多大呢?這個沙發(fā)不一定得是矩形,可以說任何形狀。

      這便是“移動沙發(fā)問題”的核心,具體來說就是:二維空間,走廊寬為1,轉(zhuǎn)角90°,求能轉(zhuǎn)過轉(zhuǎn)角的最大二維面積是多少?

      能轉(zhuǎn)過轉(zhuǎn)角的最大二維面積被稱為“沙發(fā)常數(shù)”(the sofa constant)——這是真的,我不是騙你讀書少。沒人知道它到底有多大,但我們知道有一些相當大的沙發(fā)可以轉(zhuǎn)得過去,所以我們知道沙發(fā)常數(shù)一定比它們大;也有一些沙發(fā)無論如何都轉(zhuǎn)不過去,因此沙發(fā)常數(shù)一定比這些轉(zhuǎn)不過去的面積小。迄今位置,我們知道沙發(fā)常數(shù)落在2.2195到2.8284之間。

      3. 完美立方體問題

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      還記得勾股定理,A^2+ B ^2 = C ^2 嗎?A、B、C三個字母表示直角三角形的三邊長。畢達哥拉斯三角形指的是三邊長都是整數(shù)的直角三角形,即滿足A ^2 + B ^2 = C ^2,且A、B、C都是整數(shù)。現(xiàn)在我們將這個概念擴展到三維,在三維空間,我們需要四個數(shù)A、B、C和G。前三個數(shù)是立方體的三維邊長,G是立方體的空間對角線長度。

      正如有些三角形的三邊都是整數(shù)一樣,存在一些立方體的三邊和體對角線(A、B、C和G)都是整數(shù),但對于立方體來說還有三個面對角線(D、E和F),這就帶來一個有趣的問題:有沒有立方體滿足這個7個邊長都是整數(shù)的條件呢?

      問題的目標在于找到一個立方體滿足A ^2 + B ^2 + C ^2 = G ^2,且全部的邊和對角線長度都是整數(shù),這種立方體被稱為完美立方體(perfect cuboid)。數(shù)學家們測試了各種不同的可能構(gòu)型,還沒找到任何一個滿足條件的情況。但他們也不能證明這樣的立方體不存在,因此搜尋完美立方體的工作還在繼續(xù)。

      4. 內(nèi)接正方形問題

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      隨手畫一個閉合曲線,這個曲線不一定要是圓,可以是任何你想要的形狀,但曲線的起終點必須重合且曲線不能穿越自身,在這個曲線上可能找到四個點連成一個正方形。內(nèi)接正方形假設(shè)的內(nèi)容就是,每條閉合曲線(確切來說是每個平面內(nèi)的簡單閉合曲線)一定有一個內(nèi)接正方形,這個正方形上四點都在這個閉合曲線上的某處。

      許多閉合曲線上內(nèi)接其他形狀的問題都已經(jīng)得到了解決,例如矩形或者三角形等,但正方形卻有點復雜,至今數(shù)學家們還沒有搞明白這個問題的正式證明。

      5. 美好結(jié)局問題

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      這個問題之所以被命名為“美好結(jié)局問題”,是因為它促成了一對數(shù)學家的美好姻緣:數(shù)學家George Szekeres和Esther Klein都曾致力于解決這一問題,他們最終結(jié)婚了(而這個問題仍未解決)。概括來說,這個問題是這樣的:在一張紙面上隨機放置5個點,假設(shè)這5個點排布不特殊(比如排在一條直線上),你總能找到其中四個點構(gòu)成凸四邊形,也即四個邊夾角小于180°的四邊形。這個定理的要點在于,不管這5個點的位置排布如何,你總能在5個點中構(gòu)造一個凸四邊形。

      這是四邊形的情況,而數(shù)學家發(fā)現(xiàn),為了確保構(gòu)造出一個凸五邊形,似乎需要9個點;對于六邊形則需要17個點,但此外更多邊形的情況我們不清楚。構(gòu)造七邊形和更多變形需要多少點,依然是個謎。更重要的是,理應有一個公式告訴我們對于某一邊數(shù),需要多少個點??茖W家們認為這個公式可能是M=1+2 ^(N-2),其中M是點數(shù)而N是邊數(shù)。但至今為止數(shù)學家們能夠證明的也就是上述這些有限范圍內(nèi)的結(jié)論了。

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